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Informazioni
“La matematica è divertente” di Giorgio Dendi è quel tipo di libro che ti fa vedere la matematica con occhi diversi, non come una roba noiosa piena di formule astratte, ma come un gioco intelligente dove puoi scoprire un sacco di trucchi e schemi numerici inaspettati. Dimentica i soliti esercizi, qui si parte da problemi concreti, tipo contare con strategia quanti numeri non hanno certe cifre, o quante strette di mano ci sono in una classe, o come calcolare velocemente il quadrato di certi numeri. Il bello è che ti mostra come affrontare lo stesso problema in modi diversi, magari usando tabelle o diagrammi, e poi ti svela le formule matematiche che ci sono dietro, quelle che ti permettono di fare calcoli veloci o di capire perché certi schemi funzionano. Si parla di tutto un po’, dalle divisioni periodiche che nascondono regole precise, ai quadrati di numeri strani, fino a problemi che sembrano rompicapo, tipo contare le diagonali di un poligono, i percorsi su una griglia (e qui spunta fuori il famoso triangolo di Tartaglia!), o come sistemare persone su un divano con regole assurde. È un viaggio attraverso il contare e il combinare, che ti fa capire come problemi apparentemente lontani siano collegati da idee matematiche eleganti. Ti fa proprio venire voglia di metterti lì a provare a risolvere i problemi prima di leggere la soluzione, scoprendo che la matematica è davvero divertente quando impari a guardarla nel modo giusto e a trovare le formule nascoste dietro le cose di tutti i giorni o dietro figure geometriche come i triangoli su una diagonale.Riassunto Breve
Problemi di conteggio e ricerca di schemi si affrontano in vari contesti matematici. Per contare i numeri da 1 a 100 che non contengono le cifre 4 e 7, si osserva che si possono usare 8 cifre per le decine (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9) e 8 cifre per le unità (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9), escludendo 4 e 7. Il numero totale è (10-2) * (10-2) = 8 * 8 = 64. Questo si visualizza anche con una tabella dove i numeri esclusi formano righe e colonne specifiche. Nel calcolare le strette di mano in una classe di 20 studenti disposti in una griglia 4×5, dove ognuno stringe la mano ai vicini diretti e diagonali, si usano diverse strategie. Classificando gli studenti per posizione (angoli, bordi, interni) e sommando le strette (3 per angolo, 5 per bordo, 8 per interno), si ottiene (4*3 + 10*5 + 6*8) / 2 = 55 strette totali. Un altro metodo conta le strette orizzontali (16), verticali (15) e diagonali (24), sommandole per ottenere 16 + 15 + 24 = 55. Nelle divisioni con decimali periodici, come 2013 diviso 7, il periodo si ripete. Per trovare una cifra lontana, come la 2013-esima, si usa il resto della divisione della posizione per la lunghezza del periodo. Per 2013:7, il periodo è 571428 (lungo 6). Il resto di 2013 diviso 6 è 3, quindi la 2013-esima cifra è la terza del periodo, che è 1. La lunghezza del periodo di 1 diviso un numero primo p (diverso da 2 e 5) è un divisore di p-1. Per calcolare velocemente il quadrato di un numero tra 50 e 60, si usa la formula (50+u)² = 2500 + 100u + u², dove u è la cifra delle unità. Il risultato si forma combinando 25+u per le prime cifre e u² per le ultime due. Si osserva un pattern nei quadrati di numeri formati da n cifre nove seguite da uno (es. 91, 991). Il quadrato ha n-1 nove, poi 82, n-1 zeri, e 81. La somma delle cifre segue una formula specifica. Per le strette di mano in un gruppo di N persone dove ognuno stringe la mano a tutti gli altri, il totale è N*(N-1)/2. Con 20 persone, sono 20*19/2 = 190 strette. Questo si ottiene anche sommando le strette in sequenza (1+2+…+19). Il numero di diagonali di un poligono con N lati è N*(N-3)/2. Per un icosagono (20 lati), sono 20*17/2 = 170 diagonali. Un metodo alternativo è sottrarre i lati dal totale dei segmenti tra vertici (20*19/2 – 20 = 190 – 20 = 170). Per contare i percorsi minimi su una griglia, si osserva che il numero di percorsi per un incrocio è la somma dei percorsi per gli incroci adiacenti da cui si può arrivare, seguendo lo schema del Triangolo di Tartaglia. Nel problema di disporre n+1 persone su n posti con una coppia che condivide un posto, si contano le coppie possibili (che seguono i numeri triangolari N(N+1)/2) e le permutazioni delle entità (n!), ottenendo N(N+1)/2 * n!. Per 5 persone su 4 posti, sono 10 coppie * 4! = 10 * 24 = 240 sistemazioni. Per 6 persone su 5 posti, sono 15 coppie * 5! = 15 * 120 = 1800. Per scegliere una coppia di numeri tra 1 e 2013 con somma pari, si contano le coppie di pari e le coppie di dispari. Nell’intervallo ci sono 1006 pari e 1007 dispari. Il numero di coppie con somma pari è il quadrato del numero di pari, 1006² = 1.012.036. Un problema di spostamento cubi tra piedistalli adiacenti con la regola del più grande sotto richiede 3^c – 1 mosse per c cubi. Per contare i quadrati in una griglia N x N, si sommano i quadrati dei numeri da 1 a N (1²+2²+…+N²), usando la formula N(N+1)(2N+1)/6. Per una griglia 10×10, sono 10*11*21/6 = 385 quadrati. Per contare i triangoli rettangoli formati dalla diagonale e dalle linee di una griglia N x N, il totale è N*(N+1). Per una griglia 2013×2013, sono 2013 * 2014 = 4.054.182 triangoli.Riassunto Lungo
1. Contare con Strategia
Pensiamo a come contare i numeri tra 1 e 100. Vogliamo scoprire quanti di questi numeri non contengono le cifre 4 e 7. In tutto, ci sono 100 numeri da 1 a 100. Un modo per capirlo è usare una tabella. Guardando la tabella, possiamo vedere quali numeri dobbiamo escludere. Sono i numeri che hanno un 4 o un 7 nella cifra delle decine o nella cifra delle unità.
Guardando la tabella e togliendo i numeri che hanno 4 o 7, notiamo che i numeri che rimangono formano una specie di quadrato. Scopriamo che ci sono esattamente 64 numeri che non contengono queste cifre. Possiamo arrivare allo stesso risultato con un calcolo semplice: (10-2) (10-2). Questo perché per ogni posizione, unità e decine, abbiamo 10 cifre possibili (da 0 a 9), ma non possiamo usare il 4 e il 7. Quindi rimangono 8 cifre che possiamo usare (0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9). Ci sono 8 scelte per la cifra delle decine e 8 scelte per la cifra delle unità, quindi 8 moltiplicato per 8 fa 64. Questo esempio fa vedere che mettere i numeri in una tabella e usare una formula matematica ci danno lo stesso risultato.
Contare le strette di mano in classe
Passiamo ora a un altro tipo di problema di conteggio. Immaginiamo una classe con 20 studenti. Sono seduti in 4 file, con 5 banchi per ogni fila. Dobbiamo contare quante strette di mano ci sono in totale se ogni studente stringe la mano ai compagni che sono seduti vicino a lui, sia quelli accanto (a destra, a sinistra, davanti, dietro) sia quelli in diagonale. Questo è un problema più complesso del precedente e richiede un modo diverso di pensare al conteggio.
Ci sono diverse strategie per risolvere questo problema. Un modo è dividere gli studenti in gruppi in base a dove sono seduti: quelli che si trovano nei quattro angoli, quelli che sono lungo i bordi ma non negli angoli, e quelli che sono completamente all’interno. Gli studenti agli angoli stringono la mano a 3 compagni. Quelli lungo i bordi (ma non negli angoli) stringono 5 mani. Gli studenti che sono all’interno stringono 8 mani. Moltiplichiamo il numero di studenti per il numero di strette: (4 studenti negli angoli 3 strette) + (10 studenti sui bordi 5 strette) + (6 studenti interni 8 strette). Questo ci dà un totale, ma siccome ogni stretta di mano coinvolge due persone, dobbiamo dividere il risultato per due per contare ogni stretta una sola volta. Il calcolo è (12 + 50 + 48) diviso 2, che fa 110 diviso 2, per un totale di 55 strette di mano.
Un altro modo per contare è guardare le strette di mano in base alla loro direzione. Possiamo contare le strette che avvengono in orizzontale (tra studenti seduti uno accanto all’altro nella stessa fila), in verticale (tra studenti uno dietro l’altro nella stessa colonna) e in diagonale. Ci sono 4 file con 5 studenti, il che significa 4 collegamenti orizzontali per fila, per un totale di 4 moltiplicato 4, cioè 16 strette orizzontali. Ci sono 5 colonne con 4 studenti, il che significa 3 collegamenti verticali per colonna, per un totale di 5 moltiplicato 3, cioè 15 strette verticali. Le strette in diagonale sono 12 in una direzione e 12 nell’altra, per un totale di 24 strette diagonali. Sommando tutte queste strette otteniamo il numero totale: 16 (orizzontali) + 15 (verticali) + 24 (diagonali) fa 55.
Questi esempi mostrano che i problemi di conteggio si possono risolvere seguendo strade diverse. Non c’è un unico modo giusto per trovare la risposta. Usare rappresentazioni visive, come tabelle o schemi, spesso aiuta molto a capire meglio il problema. Queste immagini rendono più facile vedere le relazioni tra gli elementi e trovare il modo più semplice per contare o calcolare il risultato finale.
Come può un metodo di conteggio essere considerato valido se si basa su un numero errato di elementi nelle sue categorie?
Il capitolo presenta due strategie per contare le strette di mano, ma la prima strategia, che divide gli studenti in base alla posizione, utilizza un conteggio degli studenti per categoria (in particolare, studenti ai bordi e interni2. Regole Nascoste e Calcoli Veloci
Scoprire le cifre nascoste nei decimali periodici
Nelle divisioni che producono numeri decimali periodici, come accade dividendo 2013 per 7, le cifre dopo la virgola si ripetono in una sequenza fissa. Per 2013 diviso 7, il risultato è 287,571428… Qui, la sequenza di cifre che si ripete, chiamata “periodo”, è 571428. Questo periodo è lungo 6 cifre. La ripetizione del resto durante il calcolo è il segnale che il periodo è iniziato. Le cifre decimali si presentano nello stesso ordine ogni 6 posizioni dopo la virgola.Per trovare una cifra molto distante nella sequenza decimale, ad esempio la 2013-esima cifra, si può sfruttare questa ripetizione. La 2013-esima cifra decimale è la stessa cifra che si trova nella posizione corrispondente al resto della divisione di 2013 per la lunghezza del periodo, che è 6. Dividendo 2013 per 6 si ottiene 335 con un resto di 3 (infatti, 2013 = 6 335 + 3). Questo significa che la 2013-esima cifra è uguale alla terza cifra del periodo. Osservando il periodo 571428, la terza cifra è 1. Pertanto, la 2013-esima cifra decimale di 2013/7 è 1. Un’altra regola interessante riguarda le divisioni di 1 per un numero primo, escludendo 2 e 5. In questi casi, la lunghezza del periodo è sempre un numero che divide esattamente il numero primo meno 1. Ad esempio, per 1 diviso 29, la lunghezza del periodo è 28, che è 29 meno 1. Per 1 diviso 31, il periodo è lungo 15, e 15 è un divisore di 30, che è 31 meno 1.Un metodo rapido per i quadrati tra 50 e 60
Esiste un modo veloce per calcolare il quadrato di un numero che si trova tra 50 e 60. Qualsiasi numero in questo intervallo può essere scritto come 50 più la sua cifra delle unità, che chiamiamo ‘u’. Ad esempio, 53 è 50 + 3. Il quadrato di un numero (50 + u) si calcola con la formula (50 + u)² = 50² + 2 50 u + u², che semplificata diventa 2500 + 100u + u². Questa formula rivela una struttura nel risultato. Le prime cifre del quadrato sono date dalla somma di 25 più la cifra delle unità (25 + u). Le ultime due cifre del risultato sono semplicemente il quadrato della cifra delle unità (u²).È importante fare attenzione se il quadrato della cifra delle unità (u²) è un numero a una sola cifra. In questo caso, si scrivono due cifre mettendo uno zero davanti; ad esempio, se u è 3, u² è 9, e si scrivono 09. Se u è 10 (il che significa che il numero di partenza è 60), u² è 100; qui si gestisce un riporto, aggiungendo 1 a 25 + u (che diventa 25 + 10 + 1 = 36) e scrivendo 00 come ultime cifre, ottenendo 3600, che è infatti 60². Questo metodo semplifica il calcolo mentale dei quadrati per questi numeri.È sufficiente enunciare una ‘regola interessante’ sulla lunghezza dei periodi decimali senza spiegarne il fondamento matematico?
Il capitolo, nel presentare la proprietà sulla lunghezza del periodo dei decimali generati da 1 diviso un numero primo (diverso da 2 e 5), si limita a enunciarla come una ‘regola interessante’. Questo approccio, pur corretto nella descrizione del fenomeno, elude completamente la spiegazione del perché tale regola sia valida. La matematica non è una collezione di regole da memorizzare, ma un sistema logico in cui ogni proprietà ha una sua dimostrazione e si inserisce in un contesto più ampio. Ignorare il fondamento logico di una regola, specialmente una così specifica e potente, significa rinunciare alla comprensione autentica. Per colmare questa lacuna e capire le ragioni profonde dietro questa ‘regola’, è indispensabile approfondire la teoria dei numeri, in particolare l’aritmetica modulare, che fornisce gli strumenti per analizzare il comportamento dei resti nelle divisioni e le proprietà delle potenze.3. Schemi numerici e conteggi sociali
Si possono scoprire schemi affascinanti osservando come si comportano i numeri, specialmente quando vengono manipolati in modi specifici. Un esempio interessante riguarda i numeri formati da una serie di cifre nove seguite da un uno, come 91, 991 o 9991. Quando questi numeri vengono elevati al quadrato, il risultato mostra una struttura ripetitiva e prevedibile che dipende dal numero di nove presenti nella cifra originale.Il Modello dei Numeri al Quadrato
Prendendo un numero con ‘n’ cifre nove seguite da un uno, il suo quadrato segue un modello preciso. Il risultato inizia con ‘n-1′ cifre nove, poi appare la sequenza di cifre ’82’, seguita da ‘n-1′ cifre zero, e infine termina con le cifre ’81’. Questo schema si mantiene costante indipendentemente da quante cifre nove precedono l’uno. Ad esempio, se si prende un numero con 2013 cifre nove e un uno finale, il suo quadrato sarà composto da 2012 cifre nove, seguite da 82, poi da 2012 cifre zero e infine da 81.Calcolare la Somma delle Cifre
Grazie a questo schema definito, è possibile calcolare facilmente la somma delle cifre del risultato. Per il numero con 2013 cifre nove e un uno, il quadrato ha 2012 nove, un 8, un 2, un altro 8 e un 1. La somma totale delle sue cifre si ottiene moltiplicando il numero di nove (2012) per il valore di ogni nove (9), e aggiungendo le altre cifre (8, 2, 8, 1). Il calcolo è quindi 2012 9 + 8 + 2 + 8 + 1, che porta a un totale di 18127. Questo schema e il calcolo della somma delle cifre possono essere confermati anche attraverso passaggi algebrici che dimostrano la validità del modello.La Sfida delle Strette di Mano
Un problema diverso, ma anch’esso legato al conteggio e agli schemi, riguarda il numero totale di strette di mano che avvengono in un gruppo di persone dove ognuno stringe la mano a tutti gli altri presenti. Consideriamo un gruppo di 20 persone. Ogni singola persona stringerà la mano a tutte le altre 19 persone nel gruppo.Diversi Modi per Contare le Strette di Mano
Un primo modo per pensare al problema è moltiplicare il numero di persone (20) per il numero di mani che ognuno stringe (19), ottenendo 380. Tuttavia, ogni stretta di mano coinvolge due persone ed è stata contata due volte in questo calcolo (una volta per ogni persona coinvolta). Per ottenere il numero effettivo di strette di mano uniche, dobbiamo dividere questo risultato per due, ottenendo 380 / 2 = 190 strette di mano totali. Un altro modo per arrivare allo stesso risultato è immaginare le persone che entrano nella stanza una alla volta. La seconda persona che entra stringe la mano solo alla prima (1 stretta). La terza persona stringe la mano alle due persone già presenti (2 strette). Questo continua fino alla ventesima persona che stringe la mano alle 19 persone già arrivate (19 strette). Il numero totale di strette di mano è la somma di 1 + 2 + 3 + … + 19.La Formula Generale
La somma dei numeri da 1 a 19 può essere calcolata rapidamente usando la formula per la somma dei primi ‘n’ numeri interi, che è n (n+1) / 2. In questo caso, con n=19, la somma è 19 (19+1) / 2 = 19 20 / 2 = 19 10 = 190. Questo conferma il risultato ottenuto con il metodo precedente. In generale, per un gruppo di ‘N’ persone in cui ognuno stringe la mano a tutti gli altri, il numero totale di strette di mano è dato dalla formula N (N-1) / 2. Questa formula fornisce un modo efficiente per risolvere il problema per qualsiasi numero di persone, mostrando come schemi matematici possano descrivere anche interazioni sociali.Ma queste formule sono davvero ‘nascoste’, o il capitolo ci nasconde il percorso per scoprirle?
Il capitolo presenta in modo chiaro due interessanti problemi e le formule che ne descrivono le soluzioni ottimali o il conteggio totale. Tuttavia, limitandosi a mostrare le formule finali, il testo non spiega come si arrivi a scoprirle o a dimostrarle. Questo approccio, pur fornendo le risposte, lascia il lettore all’oscuro del processo di pensiero matematico che porta a “scoprire” queste relazioni “nascoste”. Per colmare questa lacuna e comprendere non solo il “cosa” ma anche il “come” della risoluzione di problemi di questo tipo, sarebbe utile approfondire le discipline della matematica discreta, della combinatoria e, in particolare, le tecniche di risoluzione algoritmica e la ricerca di relazioni di ricorrenza. Un autore fondamentale per comprendere il metodo di approccio ai problemi matematici è Polya.7. Contare i Triangoli sulla Diagonale
Si considera un quadrato formato da caselle quadrate di lato N x N con una diagonale tracciata da un angolo all’altro. L’obiettivo è contare tutti i triangoli rettangoli che si formano usando le linee della griglia e questa diagonale come lato più lungo (ipotenusa). È utile notare che per ogni triangolo che si trova sotto la diagonale, ne esiste uno identico e speculare sopra. Per questo motivo, è sufficiente contare i triangoli solo in una delle due metà e poi raddoppiare il risultato ottenuto.Osservazione dei casi semplici
Per scoprire una regola generale, si possono analizzare quadrati di dimensioni più piccole. In un quadrato 1×1, si trova 1 triangolo sotto la diagonale, per un totale di 2 sull’intero quadrato. Passando a un quadrato 2×2, si contano 3 triangoli sotto, arrivando a un totale di 6. In un quadrato 3×3, i triangoli sotto la diagonale sono 6, per un totale di 12. Un quadrato 4×4 mostra 10 triangoli nella metà inferiore, che diventano 20 in totale. Infine, in un quadrato 5×5, si osservano 15 triangoli sotto, per un totale di 30 sull’intero quadrato.La formula basata sul modello
Guardando i risultati per i quadrati più piccoli (2, 6, 12, 20, 30), emerge una chiara regolarità. Si scopre che il numero totale di triangoli in un quadrato di lato N è dato semplicemente moltiplicando il lato N per il numero successivo, N+1. La formula per il totale dei triangoli è quindi N (N+1). Applicando questa formula a un quadrato molto più grande, come uno di lato 2013, il numero totale di triangoli si calcola moltiplicando 2013 per 2014. Il risultato di questo calcolo, 2013 2014, è 4.054.182.Un approccio alternativo: i punti di intersezione
Esiste un altro modo per arrivare alla stessa formula, considerando i punti sulla diagonale dove le linee verticali e orizzontali della griglia si incrociano. In un quadrato N x N, ci sono esattamente N+1 di questi punti sulla diagonale, inclusi gli angoli. Ogni coppia di questi punti definisce un segmento sulla diagonale che può essere l’ipotenusa di un triangolo rettangolo formato con le linee della griglia. Il numero di modi per scegliere due punti qualsiasi tra gli N+1 punti è dato da (N+1) moltiplicato per N, diviso per 2. Poiché ogni coppia di punti definisce l’ipotenusa di un triangolo sia sopra che sotto la diagonale, il numero totale di triangoli è il doppio di questo valore. Raddoppiando (N+1) N / 2 si ottiene N (N+1), confermando la formula trovata con il metodo precedente.Davvero basta osservare qualche caso semplice per “scoprire” una formula matematica generale valida per ogni N?
Il capitolo presenta la formula N(N+1) come una “chiara regolarità” emersa dall’osservazione di pochi esempi. Sebbene la formula sia corretta, l’induzione basata su un numero limitato di casi non costituisce una dimostrazione matematica rigorosa. La matematica richiede un approccio deduttivo che garantisca la validità della formula per qualsiasi N. Per comprendere meglio la differenza tra osservazione empirica e prova formale, si possono approfondire i fondamenti della logica matematica e le tecniche dimostrative, come l’induzione matematica (anche se non usata esplicitamente nel testo, è il principio che giustifica l’estensione di un pattern osservato) o gli argomenti combinatori come quello accennato nel secondo metodo. Discipline come la combinatoria o la teoria dei numeri offrono molti esempi di come le formule vengano provate formalmente.Abbiamo riassunto il possibile
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