Come contare fino a infinito

È davvero l’abitudine di contare sulle dita la ragione primaria della nostra adozione del sistema decimale, o questa è una semplificazione che ignora le complesse interazioni tra necessità pratiche, sviluppi cognitivi e influenze culturali che hanno plasmato i sistemi di conteggio nel corso dei millenni?

Il capitolo presenta l’origine del sistema decimale come una conseguenza quasi automatica del contare sulle dita, senza esplorare a fondo le ragioni per cui altri sistemi, come quello babilonese, pur avendo vantaggi matematici, non si siano imposti su scala globale. Manca un’analisi più approfondita delle dinamiche di adozione e diffusione dei sistemi di conteggio, e di come fattori sociali, economici e persino religiosi abbiano potuto influenzare la prevalenza di un sistema rispetto a un altro. Per comprendere appieno questo aspetto, potrebbe essere utile approfondire studi sull’antropologia della matematica e sulla storia delle idee, consultando autori come Marcel Mauss per le sue ricerche sull’antropologia del dono e della reciprocità, che potrebbero offrire spunti su come le pratiche sociali influenzino la strutturazione del pensiero e dei sistemi di misurazione. Inoltre, uno studio comparativo dei sistemi di conteggio di diverse culture, come quelli presentati da Georges Ifrah nel suo “Storia universale dei numeri”, potrebbe fornire un contesto più ampio per valutare le ragioni della predominanza del sistema decimale.

È davvero matematicamente dimostrabile che l’infinito numerico sia “misurabile” attraverso un’analogia con metodi di conteggio primitivi, o si tratta di un’estensione metaforica che rischia di banalizzare la complessità dell’infinito stesso?

Il capitolo presenta un accostamento tra un esercizio matematico che ipotizza una velocità di conteggio irrealistica per dimostrare la convergenza di una serie geometrica, e l’analogia con metodi di confronto di grandezze utilizzati da popolazioni indigene e nel mondo animale. Sebbene l’intento sia quello di rendere comprensibile il concetto di infinito e la sua cardinalità attraverso la corrispondenza uno a uno, manca un’esplicitazione chiara del passaggio logico che giustifichi l’applicabilità diretta di questi metodi intuitivi a concetti matematici astratti come l’infinito potenziale e attuale. Per approfondire la natura rigorosa del confronto tra insiemi infiniti e le potenziali criticità nell’uso di analogie, sarebbe utile consultare le opere di matematici come Georg Cantor stesso, approfondendo il concetto di funzione biunivoca e le sue implicazioni nella teoria degli insiemi. Inoltre, un’analisi delle diverse “dimensioni” dell’infinito, come quelle esplorate da Cantor, potrebbe fornire il contesto mancante per comprendere appieno la portata e i limiti di tali confronti.

Ma se l’infinito è intrinseco alla natura dei numeri irrazionali, come può il capitolo affermare che la matematica moderna ha permesso di “calcolare miliardi di cifre” di tali numeri, suggerendo una sorta di “controllo” su un concetto intrinsecamente incontrollabile?

Il capitolo presenta una narrazione che, pur affascinante, potrebbe generare un fraintendimento sulla natura dell’infinito e sulla capacità umana di “misurarlo” o “calcolarlo”. L’affermazione che miliardi di cifre di numeri come $\pi$ siano state calcolate potrebbe far pensare a una sorta di completamento o comprensione totale, quando in realtà si tratta di approssimazioni sempre più precise di un processo infinito. Per affrontare questa apparente contraddizione, sarebbe utile approfondire la filosofia della matematica, in particolare le correnti che si occupano della natura dei numeri e dell’infinito, come il costruttivismo o l’intuizionismo. Autori come Imre Lakatos, con la sua opera “Dimostrazioni e confutazioni”, potrebbero offrire prospettive illuminanti sulla natura delle definizioni matematiche e sui limiti della dimostrazione. Inoltre, una maggiore contestualizzazione storica sul significato del termine “calcolo” in epoche diverse potrebbe chiarire come la nostra comprensione di questo processo si sia evoluta, specialmente in relazione ai numeri irrazionali.

Se l’Albergo Infinito può sempre creare un nuovo numero irrazionale per ogni ospite che arriva, non è forse un’argomentazione circolare affermare che l’infinito degli irrazionali sia “più grande” di quello degli interi, quando il metodo stesso di dimostrazione sembra implicare una capacità illimitata di generare nuovi elementi, rendendo ogni confronto di “grandezza” potenzialmente arbitrario?

Il capitolo presenta la dimostrazione di Cantor come un fatto compiuto, senza però contestualizzare a sufficienza il dibattito storico e filosofico che ha circondato queste idee, né le critiche che sono state mosse all’epoca e che ancora oggi animano discussioni sulla natura dell’infinito e sulla validità di tali dimostrazioni. Per comprendere appieno la portata e le eventuali criticità di questa argomentazione, sarebbe utile approfondire gli scritti di Georg Cantor stesso, ma anche le posizioni di matematici e filosofi che hanno messo in discussione il suo lavoro, come ad esempio Leopold Kronecker. Un’ulteriore esplorazione della teoria degli insiemi e delle diverse concezioni dell’infinito, magari attraverso testi di storia della matematica o di filosofia della matematica, potrebbe fornire il contesto necessario per valutare la solidità e le implicazioni di questa distinzione tra infiniti.